\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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	a4paper,
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\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	
	\section{预备知识}
	\begin{itemize}
		\item \footnote{参考：顾樵《数学物理方法》，吴崇试《数学物理方法》。本文使用AI辅助。} Fourier 级数是：
		\begin{equation}
			f(x) =  a_0 + \sum_{n=1} (a_n \cos(\omega_n x)+ b_n \sin\omega_n x)) , x\in[-L,L]
		\end{equation}
		\begin{equation}
				\begin{aligned}
					\omega_n & = \frac{\pi n}{L} \\
					a_0 & = \frac{1}{2L} \int^L_{-L} f(x) \dd x  \\
					a_n &=  \frac{1}{L} \int^L_{-L} f(x) \cos(\omega_n x) \dd x  \\
					b_n &=  \frac{1}{L} \int^L_{-L} f(x) \sin(\omega_n x) \dd x \\ 
				\end{aligned}
				\qquad n=1,2,3,...
		\end{equation}
		
		\item  Fourier变换是:
		$$
		f(x) \to F(\omega)
		$$
		\begin{equation}
			\begin{aligned}
				f(x) & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^\infty_{-\infty} F(\omega ) e^{i \omega x} \dd \omega \\
				F(\omega) & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^\infty_{-\infty} f(x) e^{-i \omega x} \dd x  \\ 
			\end{aligned}
		\end{equation}
		
		\item  
		$f(x)=\cos(k_0 x)$的Fourier变换是
		\begin{equation} \label{eq_coskx}
			f(x) = \cos(k_0 x) \to F(k) = \frac{\sqrt{2\pi}}{2} (\delta(k_0-k)+\delta(k_0+k))
		\end{equation}
		
		\begin{figure}[h]
			\centering
			\includegraphics[width=0.5\linewidth]{pic1}
			\caption
			{
				$f(x)=\cos k_0 x$的Fourier变换示意图
				a.$f(x)$ 
				b.$F(k)$
			}
			\label{fig:pic1}
		\end{figure}

		此结果与我们的预期相符：$f(x)=\cos(k_0 x)$只包含单个频率$k_0$的波，
		因此Fourier变换后，$F(k)$也只包含单一频率的峰$\delta(k-k_0)$。
		$F(k)$有两个对称的峰是因为$f(x)$是实数，要抹掉虚部。
		
		\item  微分定理：
		假设$f(x)$的Fourier变换是$F(k)$，那么$\dv[n]{f}{x}$的Fourier变换是$(ik)^n F(k)$：
		\begin{equation}
			f(x) \to F(k) \Rightarrow \dv[n]{f}{x} \to (ik)^n F(k)
		\end{equation}
		可见，Fourier变换后，“复杂”的求导化简为了一个简单的乘法。
		一个不算太严谨的证明如下：
		\begin{equation}
			\begin{aligned}
				\dv[n]{f}{x} &= \dv[n]{}{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^\infty_{-\infty} F(k) e^{i k x} \dd k \\
				&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^\infty_{-\infty} F(k) \dv[n]{}{x} e^{i k x} \dd k \\
				&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^\infty_{-\infty} [(ik)^nF(k)] e^{i k x} \dd  k
			\end{aligned}
		\end{equation}
	\end{itemize}

	\newpage
	
	\section{Fourier变换下的波动方程}
	我们将简要介绍Fourier变换下的波动方程。
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.7\linewidth]{pic3}
		\caption
		{
			波动方程求解示意图，从左往右：
			a. 解 $u=u(x,t)$
			b. 将解分解为各个本征函数 $u=\sum_n c_n u_n$
			c. 将解Fourier变换 $U=U(k,t)$
		}
		\label{fig:pic3}
	\end{figure}
	
	
	
	我们知道一维波动方程是
	\begin{align}\label{eq:waveeq}
		u=u(x,t) \qquad \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0
	\end{align}
	在几何空间$x$下，波动方程并不算简单：$u$关于$t$和$x$的变化是高度耦合的。
	
	\subsection{本征函数与分离变量法}
	我们简要回顾“经典”的本征函数与分离变量法的求解结果。
	解应该是
	\begin{equation}
		u = \sum_n c_n u_n \qquad 
	\end{equation}
	\begin{equation}
		u_n = X_n T_n= [A \cos(\sqrt{\lambda_n} t) +  B \sin(\sqrt{\lambda_n} t)] [C \cos(\sqrt{\lambda_n/c^2} x) +  D \sin(\sqrt{\lambda_n/c^2} x)]
	\end{equation}
	也就是说，解是一组本征解$u_n$的线性组合，其中每一个$u_n$相当于一个频率特定的驻波。
	
	\subsection{Fourier 级数法}
	我们将$u$关于$x$按Fourier 级数展开，那么
	\begin{equation} \label{eq_u_expand_fourier_sum}
		u(x, t) =  a_0(t) + \sum_{n=1} (a_n(t) \cos k_n x + b_n(t) \sin k_n x))
	\end{equation}
	当$u$含时时，为什么只有系数$a, b$含时？我们可以这么理解：
	当$t = t_0$时，我们对$u^{(t_0)}(x)$(现在$u$只是关于$x$的函数)做Fourier级数展开：
	$
	u^{(t_0)}(x) =  a_0^{(t_0)} + \sum_{n=1} (a_n^{(t_0)} \cos(k_n x)+ b_n^{(t_0)} \sin k_n x))
	$；
	而当$t = t_1$时，我们也可以对$u^{(t_1)}(x)$做级数展开：
	$
	u^{(t_1)}(x) =  a_0^{(t_1)} + \sum_{n=1} (a_n^{(t_1)} \cos(k_n x)+ b_n^{(t_1)} \sin k_n x))
	$。
	可见，不同时刻$u$的Fourier级数形式相同，只是系数$a,b$不同，因此我们仅需令系数含时。
	
	将其代入波动方程，两个导数项分别为
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\pdv[2]{u}{t} &= \dv[2]{a_0}{t} + \sum_{n=1} (\dv[2]{a_n}{t} \cos k_n x + \dv[2]{b_n}{t} \sin k_n x)) \\
			\pdv[2]{u}{x} &= \sum_{n=1} (a_n \pdv[2]{\cos k_n x}{x} + b_n \pdv[2]{\sin k_n x}{x}) \\
			& = - \sum_{n=1} k_n^2 (a_n \cos k_n x + b_n \sin k_n x) \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	因此，波动方程总体写为
	\begin{equation}
		\dv[2]{a_0}{t} + \sum_{n=1} (\dv[2]{a_n}{t} \cos k_n x + \dv[2]{b_n}{t} \sin k_n x)) + c^2 \sum_{n=1} k_n^2 (a_n \cos k_n x + b_n \sin k_n x) = 0
	\end{equation}
	即
	\begin{equation}
		\dv[2]{a_0}{t} + \sum_{n=1} \left[\left( \dv[2]{a_n}{t} + c^2 k_n^2 a_n \right) \cos k_n x +  \left( \dv[2]{b_n}{t} + c^2 k_n^2 b_n \right) \sin k_n x \right] = 0
	\end{equation}
	波动方程恒成立意味着：
	\begin{equation}
		\begin{cases}
			\dv[2]{a_0}{t} &= 0\\
			\dv[2]{a_n}{t} + c^2 k_n^2 a_n &= 0\\
			\dv[2]{b_n}{t} + c^2 k_n^2 b_n &= 0\\
		\end{cases}
	\end{equation}
	这是我们耳熟能详的二阶常微分方程，一眼看出通解
	\begin{equation}
		\begin{cases}
			a_0 & = E + Ft \\
			a_n &= A_n \cos ck_n t + B_n \sin ck_n t \\
			b_n &= C_n \cos ck_n t + D_n \sin ck_n t \\
		\end{cases}
	\end{equation}
	由于$a_0$的非零解在大多数情况下不满足边界条件，我们假定$a_0 = 0$。将其代回\formula{eq_u_expand_fourier_sum}，得到
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			u &  = \sum_{n=1} \left ( (A_n \cos c k_n t + B_n \sin c k_n t) \cos k_n x+ (C_n \cos c k_n t + D_n \sin c k_n t) \sin k_n x \right) \\
			& = \sum_n (A'_n \cos c k_n t + B'_n \sin c k_n t) (C'_n \cos k_n x +  D'_n \sin k_n x )
		\end{aligned}
	\end{equation}
	只需重新整理系数，就会发现结果与先前使用分离变量法的相同。
	
	
	\subsection{Fourier 变换法}
	看起来Fourier级数法非常庞杂，但在满血Fourier变换的加成下，整个过程会更为简明。
	我们使用Fourier变换关于$x$展开$u(x,t)$：
	\begin{equation}
		u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^\infty_{-\infty} U(k, t) e^{i k x} \dd k \\
	\end{equation}
	$U$含时的理由同上。将其代入波动方程
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			& \pdv[2]{}{t} \int^\infty_{-\infty} U(k, t) e^{i k x} \dd k
			- c^2 \pdv[2]{}{x} \int^\infty_{-\infty} U(k, t) e^{i k x} \dd k = 0\\
			\Rightarrow & \int^\infty_{-\infty} (\pdv[2]{U}{t} e^{i k x} - c^2 U \pdv[2]{e^{i k x}}{x}) \dd k = 0 \\
			\Rightarrow & \int^\infty_{-\infty} (\pdv[2]{U}{t} + c^2 k^2 U ) e^{i k x}  \dd k = 0 \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	其中我们运用了微分定理。波动方程的成立意味着
	\begin{equation} \label{eq:waveeq_fourier}
		U=U(k,t)
		\qquad 
		\pdv[2]{U}{t} + c^2k^2 U = 0
	\end{equation}
	\formula{eq:waveeq_fourier} 相当于Fourier变换后的$k$空间下的波动方程。
	尽管这个方程字面上仍然是PDE（$U=U(k,t)$仍是一个二元函数），但其中没有$\pdv{U}{k}$的项，因此这个方程应该更容易求解。
	比如说，我们先假定$k=k_1$，那么\formula{eq:waveeq_fourier}变成一个常微分方程
	$\pdv[2]{U}{t} + c^2 k_1^2 U = 0$，
	他的解是我们熟悉的
	$U=\tilde A_1 e^{i c k_1 t} + \tilde B_1 e^{- i c k_1 t}$；
	再假定$k=k_2$，那么其同样变成一个常微分方程
	$\pdv[2]{U}{t} + c^2k_1^2 U = 0$，
	他的解是
	$U=\tilde A_2 e^{i c k_2 t} + \tilde B_2 e^{- i c k_2 t}$；
	以此类推，\formula{eq:waveeq_fourier}的解应该是
	\begin{equation}
		U(k,t) = \tilde A(k) e^{i c k t} + \tilde B(k) e^{- i c k t} 
		\quad k \in (-\infty, +\infty)
	\end{equation}
	如何理解$U=U(k,t)$?
	$U=U(k,t)$的含义相当于，各个时刻下波$u(x,t)$中各种波频率$k$的“含量”。
	也就是说，$u$的一个本征解$u_n$，对应$U$中$k=k_n$处的峰
	（参考图\ref{fig:pic3}与\formula{eq_coskx}）。
	而$U$关于$t$的变化，相当于$u$中波频率分布随$t$的变化（这个理解并不是非常严谨）。
	将其代回Fourier变换的表达式
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			u(x,t) & = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^\infty_{-\infty} (\tilde A(k) e^{i c k t} + \tilde B(k) e^{- i c k t} ) e^{i k x} \dd k \\
			& = \int^\infty_{-\infty} \tilde A'(k) e^{i(c k t + kx)}  \dd k + \int^\infty_{-\infty} \tilde B'(k) e^{i(-c k t + kx)}  \dd k \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	系数可以被合并入$\tilde A$而成为$\tilde A'$。
	如果波的频率是离散的话，上述积分变为特定频率处的累和：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			& u(x, t) = \sum_n \tilde A'_n e^{i(c k_n t + k_n x)} + \sum_n \tilde B'_n e^{i(- c k_n t + k_n x)} = \sum_n \tilde A''_n e^{i(\omega_n t + k_n x)} \\
			& k_n,\omega_n \in (-\infty, +\infty), \abs{\omega_n} = c \abs{k_n}
		\end{aligned}
	\end{equation}
	最后一步我们选取$\abs{\omega_n} = c \abs{k_n}$以合并繁琐的两项，
	这使得$\omega_n, k_n$的符号可以不直接相关（因此严格来说，前后两步中$n$的含义略有不同）。
	尽管这个看起来是一个奇怪的复数解，但我们在隔壁笔记中将论证，复数解包含所有的实数解。
	只需恰当地选取复系数，就能得到实数解。
	
	使用Fourier变换的语言有很多至少是物理意义上的优点。
	比如，如果我们要往波动中增加或减少某一特定频率的波动，
	在$U$中我们只需要在相应频率处增加或减少一个峰；
	而在$u$中我们则需要找到频率对应的本征函数再加减，无形中复杂了很多。
	
	某种意义上这是因为\formula{eq:waveeq_fourier}中没有$\pdv{U}{k}$的项。
	使用$U$的语言，我们发现各个频率的波在相对独立地运行而互不干扰；
	而如果使用$u$的语言，我们发现$\pdv[2]{u}{x}$意味着相邻“粒子”的运动会互相干扰，以至于让分析变得非常繁琐。
	
	
	我们举一个例子，行波
	$$
	u(x,t) = \cos(\omega_0 t - k_0 x)
	$$
	是波动方程的一种解，那么它的Fourier变换是
	$$
	U(k,t) = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \left[ e^{i \omega_0 t} \delta(k + k_0) + e^{-i \omega_0 t} \delta(k - k_0) \right]
	$$
	这相当于 $\tilde A = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \delta(k + k_0)$, $\tilde B = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \delta(k - k_0)$。
	
	\newpage
	\section{Fourier变换下的三维波动方程}
	我们简要讨论Fourier变换下的三维波动方程。由于方法和一维完全类似，只是用了三维的Fourier变换，因此不再赘述具体过程，点到为止。
	三维波动方程是
	\begin{equation}\label{eq:waveeq_3d}
		u=u(x,y,z,t) \qquad \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2 \laplacian u = 0
	\end{equation}
	而三维Fourier变换是
	\begin{equation}
		u(x,y,z,t) = (\frac{1}{\sqrt{2\pi}})^3 \iiint^\infty_{-\infty} U(k_x, k_y, k_z, t) e^{i k_x x} e^{i k_y y} e^{i k_z z} \dd k_x \dd k_y \dd k_z \\
	\end{equation}
	将Fourier变换的$u$代入波动方程并运用微分定理，得到
	\begin{equation}
		\pdv[2]{U}{t} + c^2 (k_x^2+k_y^2+k_z^2) U = 0
	\end{equation}
	它的解是
	\begin{equation}
		U = \tilde A(k_x, k_y, k_z) e^{i c \sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2} t} + \tilde B(k_x, k_y, k_z) e^{- i c \sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2} t}
	\end{equation}
	将这一解代回Fourier变换，就得到了波动方程解的通式:
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			u &= (\frac{1}{\sqrt{2\pi}})^3 \iiint^\infty_{-\infty} (\tilde A(k_x, k_y, k_z) e^{i c \sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2} t} + \tilde B(k_x, k_y, k_z) e^{-i c \sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2} t})e^{i k_x x} e^{i k_y y} e^{i k_z z} \dd k_x \dd k_y \dd k_z \\
			& = \iiint^\infty_{-\infty} \tilde A' (\bvec k) e^{i (c \abs{\bvec k} t + \bvec k \cdot \bvec r)}  \dd^3 \bvec k + \iiint^\infty_{-\infty} \tilde B' (\bvec k) e^{i (- c \abs{\bvec k} t + \bvec k \cdot \bvec r)}  \dd^3 \bvec k\\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	其中$\bvec k = (k_x, k_y, k_z)$，$\bvec k \cdot \bvec r = k_x x + k_y y + k_z z$等。
	若波频率离散，依然可以写出
	\begin{equation}
		u(\bvec r, t) = \sum_n \tilde A''_n e^{i(\omega_n t+ \bvec k_n \cdot \bvec r)}
		\quad 
		\abs{\omega_n} = c \abs{k_n}
	\end{equation}
	耶！
\end{document}
